Polígonos y poliedros

POLÍGONOS Y POLIEDROS

Veamos las diferencias entre polígonos y poliedros, y los elementos que tienen en común.

Un polígono es la porción de plano limitada por segmentos, por tanto es bidimensional, es decir es plano. Sus elementos son: Lados, vértices, ángulos y diagonales.

Un poliedro es una figura tridimensional (tiene volumen) cuyas caras son polígonos. Sus principales elementos son: Caras, vértices y aristas.
Los prismas y pirámides también son poliedros

os del mundo de los polígonos (figuras planas o bidi-

mensionales) al mundo de los poliedros (cuerpos en el espacio

tridimensional). En el proceso de fabricación de piezas y en

la construcción de edificios tiene especial importancia la

interpretación del plano de la pieza o del edificio, para luego

construir el modelo, réplica de la pieza que se producirá

posteriormente.

Así también construimos cuerpos a partir de sus respectivas

redes o planos, lo que nos permite proyectar edificios y estruc-

turas de uso en la construcción y el diseño.

Las figuras representadas son cuerpos geométricos en el espa-

cio, limitados por un número finito de superficies planas.

Estos cuerpos reciben el nombre de poliedros. Las superficies

planas en cuestión son polígonos y se denominan caras del

poliedro.

El mundo de los poliedros

Observa cualquiera de los poliedros que están dibujados y

algunos de sus elementos característicos:

a) ¿Cómo definirías cada uno de sus elementos?

b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?

c) ¿Cuántas caras, como mínimo, habrá que juntar en un

vértice?

d) ¿Cuánto pueden sumar, como máximo, los ángulos de las

caras que concurren en un mismo vértice?

Se denomina orden del vértice al número de caras que con-

curren a un mismo vértice. Este poliedro tiene orden del vér-

tice 3.

Cara

Vértice

Este es un poliedro que tiene 14

vértices, 21 aristas y nueve caras.

Este cuerpo geométrico no es un

poliedro.

¿Por qué el cuerpo de la derecha no es un Los poliedros regulares convexos son conocidos con el nombre de

sólidos platónicos en honor al filosofo griego Platón (428-347 a.C.)

que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en que época

llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, el

tetraedro y el dodecaedro a Pitágoras (siglo IV a.C.) y el octaedro e

icosaedro a Teeteto (415-369 a.C.). Para Platón los elementos últimos

de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro

(el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el elemento mas pequeño,

ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mas sólido de los

cinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamaño, peso y

fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el

agua al icosaedro (el agua, el más móvil y fluido de los elementos,

debe tener como forma propia o "semilla , el icosaedro, el sólido más

cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar),

mientras que al dodecaedro le asignó el Universo. Como los griegos

ya tenían asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja al

dodecaedro, por lo que lo relacionaron con el Universo como conjunción

de los otros cuatro. La forma del dodecaedro es la que los dioses

emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó

para todo cuando dibujó el orden final.

En cada uno de los poliedros abajo representados cuenta el número de

vértices V, el número de aristas A y el número de caras C.

Calcula V-A+C. ¿Qué número se obtiene? La relación resultante fue

demostrada por Euler.

El mundo de los poliedros regulares

Hexaedro regular

o cubo

Tetraedro regular Dodecaedro

regular

Poliedro regular Icosaedro regular Octaedro regular

Modelo

Caras

Vértices

Aristas

Aristas por

vértice

6 cuadrados

8

12

3

4 triángulos

equiláteros

4

6

3

20

30

3

12

30

5

6

12

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